놀랍게도 켈리는 베터가 평균에 포함된다면 자신의 어드밴티지를 정확하게 알지 못해도 위험을 피할 수 있다는 것을 알아냈습니다. 그러나 Joe Peta가 켈리 기준에 대한 자신의 분석에서 "계산된 기대 수익률에 상관없이 투자할 수 없을 만큼 변동이 매우 심하다"라고 한 말에 일리가 있다는 것은 여전히 명확합니다.
이번 후속 기사에서는 이러한 변동을 어떻게 줄일 수 있으며 그렇게 함으로써 기대 수익률에 어떠한 영향을 미칠 수 있는지에 대해 알아보도록 하겠습니다.
완전 켈리 기준의 문제점
켈리 기준의 가장 큰 문제점으로 자주 거론되는 것은 뱅크롤의 성장이 변덕스럽고 때로는 심각한 손실로 인해 이익을 내지 못하게 될 수도 있다는 점입니다. 다시 말해 뱅크롤의 성장이 무척 불안정합니다.
켈리 기준에 따라서 베팅 금액의 규모가 어떻게 계산되는지 상기해보면(어드밴티지 – 1 / 배당률 – 1), 상당히 긍정적으로 예상했던 단기 가격 베팅에서 손실을 보게 되는 갑작스러우면서 큰 손해가 발생할 것입니다.
이번 달부터 Ligue 1 경기는 위의 예와 같은 방식으로 제공됩니다. 경쟁 북메이커에서는 PSG가 Caen에 대해 승리한다는 것에 1.35를 제시했고 피나클은 1.20을 제시했습니다. 마진을 고려하면 기대 어드밴티지는 11.5%(피나클 시장이 가장 현명하다고 가정할 경우)이며 켈리 베팅 금액 비율은 32.8%가 됩니다.
PSG와 Caen의 경기는 무승부로 마무리되었고 단 한 번의 베팅으로 켈리 뱅크롤은 1/3 가까이 휩쓸려 나갔습니다. 설령 비슷한 수준으로 뱅크롤을 다시 키울 기회가 있다고 하더라도 이것은 대부분의 베터가 감당하기 힘든 수준의 손해입니다.
땄을 때보다 잃었을 때의 타격이 더 크다는 것을 즐기는 심리
대부분의 경우 설령 위험을 즐기는 사람이라고 하더라도 이런 규모의 손해는 같은 크기의 이득을 얻었을 때보다 훨씬 더 큰 타격이 됩니다. Daniel Kahneman은 그의 저서인 Thinking, Fast and Slow에서 아주 간단한 사고 실험을 통해 이를 설명했습니다.
A) 기존의 자산에 $1,000를 받았습니다. 이제 다음 중 하나를 선택해야 합니다.
1) 50%의 확률로 $1,000 이득
2) 100%의 확률로 $500 이득
B) 기존의 자산에 $2,000를 받았습니다. 이제 다음 중 하나를 선택해야 합니다.
1) 50%의 확률로 $1,000 손실
2) 100%의 확률로 $500 손실
절대적 자산 수준에서 A와 B의 결과는 같습니다. A나 B에서 확실한 노선을 추구한다면 $1,500를 갖게 됩니다(기존 자산에 추가). 위험을 감수하겠다면 결과에 따라 $2,000 또는 $1,000를 갖게 됩니다. 어느 쪽을 선택하겠습니까?
Kahneman과 동료인 Amos Tversky가 이 난제에 대해 실험을 할 때 대부분 응답자가 이득을 얻는 A의 경우에는 손실 회피(확실한 쪽을 선택)를 선호했으며 손실을 보는 B의 경우에는 위험을 감수하는 쪽(도박을 거는 쪽)을 선택했습니다.
같은 의사 결정 문제의 상응하는 조건에 대해서는 같은 내용을 선택해야 마땅합니다. 그러나 이번 예시에서는 그렇지 않았고 응답자의 행동은 이성적이지 않았습니다. A와 B의 경우가 다른 시작점 혹은 판단 기준을 갖고 있다는 것으로 설명할 수 있습니다.
A에서는 기존 자산 + $,1000였고 B에서는 기존 자산 + $2,000였습니다. Kahneman은 이러한 판단 기준에 크게 신경을 쓰는 사람은 극히 소수이기 때문에 절대적인 자산 수준이 아닌 상대적인 자산 수준의 평가에 근거해 이득과 손실에 대한 태도가 결정된다고 설명합니다. 그리고 이득/손실 면에서 따는 것을 좋아하는 마음보다 잃는 것을 싫어하는 마음이 더 큰 경향이 있습니다.
승리했을 경우 뱅크롤이 1/3 증가하지만 패배했을 경우 1/3 감소하는 이븐 머니 베팅을 받아들이겠습니까? 받아들이지 않는다면(대부분 사람이 같은 선택을 할 것으로 예상합니다) 바로 이것이 손실 회피를 나타내는 것이라고 할 수 있습니다. 마음을 바꾸려면 승리 확률이 얼마나 높아야 할까요? 60%? 70%? 95%? 더 높아야 할까요?
손실 회피에 대한 진화론적 설명
진화론적 측면에서 이득보다 손실이 동기 부여의 핵심이라는 것은 놀라운 일이 아닙니다. Kahneman이 설명했듯이 기회보다 위협을 훨씬 중요하게 생각하는 생명체의 생존 및 재생산 가능성이 더 큽니다.승자를 진화 선상에 두고 설명하고 있으므로(결국, 여기까지 왔습니다) 손실 회피는 자연 도태의 원리에 따라 먼저 선택된 적응 방식이라는 것을 의미한다고 볼 수 있습니다.
진화를 통해 우리의 신경 회로는 절댓값보다 상대적인 자극의 변동을 탐지하도록 미세 조정되었습니다. 이러한 원리는 뜨거운 물, 찬물, 실온의 물을 각각 한 잔씩 가져다 놓고 이 사이의 차이를 가늠하면서 스스로 확인해볼 수 있습니다.
먼저 1분가량 왼손은 뜨거운 물에, 오른손은 찬물에 넣고 있다가 실온의 물에 동시에 양손을 넣습니다. 두 손 모두 같은 절대 온도를 가진 물에 손을 넣었음에도 각 손의 판단 기준이 다르기 때문에 왼손은 더 차갑게, 오른손은 더 따뜻하게 느낄 것입니다.
분할을 통한 켈리 기준 개선
손실 회피의 경향으로 인해 완전 켈리 베팅과 관련한 변덕스러운 위험성이 감당할 수 없을 만큼 높다면 가장 확실한 해결 방법은 켈리 베팅의 크기를 줄이는 것입니다. 그러나 이 자산 관리 전략의 기대수익률에 정확히 어떻게 영향을 미칠 수 있을까요?
다양한 자료를 통해 켈리 기준 베팅 규모를 반으로 줄이면 베터가 뱅크롤의 변동을 크게 줄이는 동시에 기대 수익은 유지할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 과연 맞는 얘기인지 몇 가지 시뮬레이션을 통해 살펴보도록 하겠습니다.
아래의 첫 번째 차트는 베터가 4%의 어드밴티지(기대수익률 52%)를 가지는 일련의 250 이븐 머니 베팅을 따르는 한 가지 시뮬레이션을 예시로 보여줍니다.
완전 켈리, 1/2 켈리, 1/4 켈리, 1/8 켈리의 4가지 경우를 비교하고 있습니다. 완전 켈리 베팅이 8%였다면 1/2, 1/4, 1/8 켈리는 각각 4%, 2%, 1%를 의미합니다. 당연한 얘기지만 뱅크롤의 변화에 있어서 변동성이나 가변성은 켈리에서 가장 크고 1/8 켈리에서 가장 작았습니다.
그러나 운이 좋지 못했을 때 역시 완전 켈리의 손해가 훨씬 더 크다는 것을 알 수 있습니다. 세 번째 표는 뱅크롤이 30% 감소하는 연속 10회 손해를 보여주고 있습니다. 1/8 켈리의 경우에는 3.75%밖에 되지 않았습니다. 이미 설명한 대로 이러한 손해는 켈리에서 얻을 수 있는 이득이 훨씬 더 큼에도 불구하고 대부분의 베터들이 감당하기 어려운 수준의 손해입니다.
그러나 이것은 4%의 어드밴티지를 가지는 이븐 머니 베터의 경우에 가능한 3가지 예시에 불과합니다. 평균적으로 어떠한 결과를 얻을 수 있을지를 결정하려면 다른 몬테 카를로 시뮬레이션을 실행해봐야 합니다.
저는 베팅 시작점보다 낮은 뱅크롤로 마무리할 가능성에 대해 4가지 부분 켈리를 각기 비교하는 또 다른 몬테 카를로 시뮬레이션을 10,000회 실행했습니다. 최종 뱅크롤이 처음의 60% 미만으로 감소한 경우가 14%로 켈리 전략에 대한 Joe Peta의 관점을 확인했다는 것을 기억하시나요.
이번에 실행한 새로운 시뮬레이션에서는 가능성이라는 범주 내에서 같은 결과가 나타났습니다. 확률에 대한 전체적인 내용을 확인할 수 있습니다.
부분 켈리 확률
이븐 머니 게임에서 250회 이상 베팅 후 켈리 기준 베팅 금액을 줄이는 것이 패배 확률에 큰 영향을 미치지는 못하지만 20% 이상의 더욱 큰 손실에 대해서는 훨씬 더 제대로 된 보완을 해줄 수 있습니다.
켈리 기준 베팅 금액을 절반으로 줄이면 뱅크롤의 20%를 잃을 확률도 절반으로 감소합니다. 베팅 금액을 다시 한번 절반으로 줄이면 뱅크롤의 20%를 잃을 확률은 거의 0%에 가까워집니다. 40% 이상의 손실에 대해서 위험이 적어지는 것이 더욱 확연해집니다. 그러나 어느 정도를 감수해야 기대 수익률이 나타날까요?
네 가지 전략에 대해 각각 250회 베팅한 이후의 뱅크롤 평균 및 중앙값을 보여줍니다.
250회 베팅 이후 뱅크롤
1/2 켈리에 대한 기대 수익률 평균이 켈리 기준보다 훨씬 적기는 하지만 수익률 중앙값은 1/4 수준밖에 감소하지 않았습니다. 부분 켈리 전략은 매우 큰 소수의 뱅크롤로 인해 평균 기대 수익률이 왜곡된다는 사실을 상기한다면 일반적으로 어떤 일이 벌어질지에 대해 예측하는 데는 중앙값이 더 나은 선택지가 될 것입니다. 예시의 중앙값 116은 뱅크롤의 대략 50%가 116과 같거나 미만이고 50%가 116을 초과한다는 것을 의미합니다. 그렇다면 켈리 기준 베팅 금액을 절반(또는 그 이하로) 줄이는 것은 충분히 감수할 가치가 있는 것으로 보입니다.
베터가 8%의 어드밴티지(승률 54%)를 가질 때 실행한 두 번째 몬테 카를로 시뮬레이션 결과입니다. 결과는 대체로 흡사합니다. 기대 수익률(중앙값)의 아주 작은 부분을 포기함으로써 패배의 위험성을 크게 줄일 수 있다는 이야기입니다.
부분 켈리
켈리 기준을 부분적으로 나누는 것이 과연 최선의 베팅 방법일까요?
부분 켈리는 고정 베팅에 대해 켈리 전략이 제공할 수 있는 장점을 너무 많이 포기하지 않는 동시에 완전 켈리 기준 베팅과 관련한 변동성 위험을 해결할 방법으로 보입니다. 큰 손해를 피하고자 하는 베터에게는 아주 반가운 소식이 되겠죠.
물론 언제나 그렇듯이 공개된 배당률에 대해 어드밴티지를 갖고 있어야 한다는 것이 훨씬 더 어려운 일입니다. 스스로가 믿고 있는 것과 행동하는 것은 전혀 다른 일이니까요. 그러니 자만감으로 인해 망치는 일이 없기를 바랍니다.
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